Chiamiamo x la somma di denari che il padre distribuisce. Dunque al primo figlio toccheranno x/n denari + a denari. Ne restano (n-1)x/n – a. Al secondo figlio toccherà perciò 1/n di questa somma + 2a denari, ossia (n-1)x/n2 – a/n + 2a denari. Siccome i figli devono ricevere tutti la stessa parte, deve essere x/n + a = (n-1)x/n2 – a/n + 2a. Facendo i calcoli risulta x = a n2 – an ossia risulta x = an(n-1). Questa è la somma che il padre ha distribuito tra i suoi figli. Al primo figlio sono toccati x/n denari + a denari, ossia a(n-1) + a denari cioè an denari. Quindi il numero dei figli è an(n-1)/an = n-1. Per completare la soluzione occorre verificare che tutti i figli, e non solo i primi due come abbiamo fatto finora, ricevano la stessa parte. La verifica è semplice: basta mostrare che, supponendo che il primi k figli abbiano ottenuto la stessa parte an della somma, anche il (k+1)-esimo otterrà la stessa parte. Infatti, al (k+1)-figlio toccano [an(n-1) - k an]/n + (k+1)a che si verifica essere uguale a an.
Per risolvere il secondo problema si può ragionare in questo modo: se alla fine ciascun amico ha 8 denari, e subito prima il secondo e il primo hanno avuto dal terzo amico quanto già possedevano, significa che ciascuno di essi aveva 4 denari e il terzo amico ne aveva 16. Ma subito prima il secondo aveva dato al primo e al terzo amico quanto già ciascuno possedeva, ossia il primo amico possedeva 2 denari, il terzo 8 e il secondo 14. All'inizio il primo amico aveva dunque dato al secondo 7 denari, e al terzo 4. In definitiva, il primo amico possedeva 13 denari, il secondo 7 e il terzo 4. (U.Bot.)
