Vincere alla prima mossa

Alain Resnais, grande regista francese della Nouvelle Vague, ha messo al centro di uno dei suoi film più famosi, L'anno scorso a Marienbad, vincitore del Leone d'Oro a Venezia nel 1961, uno dei giochi matematici più interessanti, nato proprio con i fiammiferi. È stato Alain Robbe-Grillet, sceneggiatore del film, che aveva fatto studi matematici prima di arrivare al cinema, a portare nel film di Resnais questo gioco, insieme a simmetrie e labirinti che creano la struttura particolare del racconto cinematografico, e che ricordano i disegni fantastici di Escher. La trama: Giorgio Albertazzi è in vacanza in un grande albergo dal fascino decadente, in una località non ben precisata della Francia o della Germania. Insegue una bella signora, Delphine Seyrig, e la perseguita ripetendole in modo ossessivo: «Noi ci conosciamo già, ci siamo già amati, l'anno scorso a Marienbad». Accanto ai due protagonisti c'è il «Giocatore», un enigmatico personaggio, probabilmente marito della bella signora, Sacha Pitoëff, che propone ad Albertazzi un gioco per il quale si dichiara praticamente invincibile: «Posso perdere – dice Pitoëff – ma vinco sempre». Il gioco è il Nim, originario dell'antica Cina, che comparve per la prima volta in Europa nel Cinquecento. Il suo nome potrebbe derivare dal tedesco nimm, cioè prendere... i fiammiferi dal tavolo di gioco. Viene anche chiamato Tac Tix e in cinese è il fan-tan. Per il gioco servono gettoni, monete, sassi o carte da gioco, ma generalmente si usano fiammiferi (nel film Pitoëff usa anche le carte) disposti su diverse file.
«Ciascun giocatore può prendere quanti fiammiferi vuole – dice Pitoëff, spiegando il gioco ad Albertazzi – purché li prenda da una sola riga alla volta. Quello a cui resta l'ultimo fiammifero ha perso.» Pitoëff continua a sfidare Albertazzi a questo gioco, tra camerieri e clienti dell'albergo che li osservano perplessi, immobili come statue. L'unico movimento, che diventa ossessione, è quello del gioco. Un ospite dell'albergo osserva: «Chi fa la prima mossa vince sempre... Si deve prendere sempre un numero pari di fiammiferi... il più piccolo numero intero dispari. È una serie logaritmica. Si sceglie ogni volta una riga diversa, si divide per tre... sette per sette quarantanove». Frammenti di un discorso volutamente oscuro (come tutto il film) che non ci aiutano certo a capire il gioco. Distratto dal fascino di Delphine Seyrig, Albertazzi non riesce a definire una strategia di gioco che gli consenta di contrastare la superiorità dell'avversario.
Un giocatore attento scopre ben presto il vantaggio di arrivare a una configurazione 0 – 1 – 2 – 3 (nessun fiammifero sulla prima riga, uno sulla seconda, due sulla terza e tre sulla quarta) oppure a una configurazione con due righe di uguale lunghezza.
Nel primo caso, se l'avversario prosegue con 0 – 0 – 2 – 3 oppure con 0 – 1 – 2 – 2, basterà rispondere con 0 – 0 – 2 – 2 per vincere la partita. La risposta dell'avversario deve essere 0 – 0 – 0 – 2 oppure 0 – 0 – 1 – 2 e in entrambi i casi si arriva alla mossa vincente: 0 – 0 – 0 – 1 oppure 0 – 0 – 1 – 0.
Nel secondo caso basterà rispondere a ogni mossa dell'avversario in modo da avere sulle due righe sempre lo stesso numero di fiammiferi, fino ad arrivare alla configurazione 0 – 0 – 2 – 2, per la quale abbiamo appena visto come procedere.
Al di là di queste semplici considerazioni che possono derivare da una certa pratica del gioco, esiste però una strategia matematica che permette di vincere a colpo sicuro, purché sia l'avversario a fare la prima mossa. È una strategia basata sul sistema binario, scoperta alla fine dell'Ottocento da Charles Leonard Bouton, un matematico dell'università di Harvard.
Se avesse conosciuto questa semplice strategia del gioco, Albertazzi sarebbe riuscito non solo a battere l'impassibile Pitoëff, ma anche, sicuramente, a stabilire un rapporto meno malinconico e ossessivo con la bella Delphine Seyrig.
La strategia è valida anche nel caso in cui il gioco preveda che il vincitore sia il giocatore che prende l'ultimo fiammifero. Cambia soltanto il finale: si procede in modo da avere due file con lo stesso numero di fiammiferi, cercando poi di mantenerle sempre con un numero uguale di fiammiferi.
Secondo i «puristi» del Nim, la versione che abbiamo presentato, usata nel film di Resnais, che vede perdente il giocatore costretto a prendere l'ultimo fiammifero, viene chiamata Marienbad. Il nome originario Nim viene invece riservato alla versione che prevede come vincitore il giocatore che prende l'ultimo fiammifero.
Esistono molte altre varianti di questo gioco. La più interessante è quella proposta sessant'anni fa da Piet Hein, il matematico noto per l'invenzione del Cubo Soma. Il nome originale danese di questa versione è Bulo, mentre in Gran Bretagna e negli Stati Uniti è nota come Tac Tix. Si gioca in due su una struttura 4X4, con quattro righe di quattro fiammiferi o con qualsiasi altro tipo di gettoni, in formazione quadrata o rettangolare. I due giocatori a turno possono prendere delle pedine da una riga qualsiasi,orizzontale o verticale, purchè siano adiacenti, senza spazi vuoti fra loro. Ad esempio, se un giocatore, alla prima mossa, prende le due pedine centrali della seconda riga, l'avversario non può prendere in una sola mossa le due pedine restanti della seconda riga, nè le due pedine della seconda colonna sulla prima e sulla terza riga. Perde chi prende l'ultimo fiammifero. Con la convenzione inversa, della vittoria al giocatore che prende l'ultimo fiammifero, il secondo giocatore vince sempre se gioca le mosse simmetriche a quelle del primo giocatore.